ベクトル解析

目標

1. 1.

   スカラー場$f=2x+3y+z$, 半球面$S:z=\sqrt{a^2-x^2-y^2}$ のとき面積分${\displaystyle {\iint }_S}f𝑑S$ ($a>0$)

2. 2.

   円柱面$S$： $𝒓(u,v)=(a\cos u,a\sin u,v)$, $0\le u\le 2\pi ,0\le v\le h$と ベクトル場$𝒇=(x,y,z^2+xy)$とし面積分 ${\displaystyle {\iint }_S}𝒇\cdot 𝑑𝑺$ ($a>0$, $S$の向きは${𝒓}_u\times {𝒓}_v$)

• 例

  $𝒇=-\nabla \phi$ (ポテンシャルをもつとき)

• •

  ${\displaystyle {\int }_C}𝒇\cdot 𝑑𝒓=-{\displaystyle {\int }_C}\nabla \phi \cdot d𝒓$ $=-{\displaystyle {\int }_C}\left({\displaystyle \frac{\partial \phi }{\partial x}}dx+{\displaystyle \frac{\partial \phi }{\partial y}}dy+{\displaystyle \frac{\partial \phi }{\partial z}}dz\right)$ $=-{\displaystyle {\int }_a^b}\left({\displaystyle \frac{\partial \phi }{\partial x}}{\displaystyle \frac{dx}{dt}}+{\displaystyle \frac{\partial \phi }{\partial y}}{\displaystyle \frac{dy}{dt}}+{\displaystyle \frac{\partial \phi }{\partial z}}{\displaystyle \frac{dz}{dt}}\right)𝑑t$ $=-{\displaystyle {\int }_a^b}{\displaystyle \frac{d}{dt}}\phi (x(t),y(t),z(t))𝑑t$ $=-\phi (x(b),y(b),z(b))+\phi (x(a),y(a),z(a))$ $=\phi (\text{P})-\phi (\text{Q})$

• •

  ここで $C$ の始点 P，終点 Q の位置ベクトルを $𝒓(a),𝒓(b)$ とする

• •

  ポテンシャルをもつとき 接線線積分は積分路に依らないことが分る

• 例

  4.8 ベクトル場$𝒇$はポテンシャル$\phi$をもつとする。 閉曲線$C$上の線積分を求めよ

• 略解

  ：上の例より${\displaystyle {\int }_C}𝒇\cdot 𝑑𝒓=\phi (\text{P})-\phi (\text{Q})$

• •

  閉曲線なので$\text{P}=\text{Q}$だから ${\displaystyle {\int }_C}𝒇\cdot 𝑑𝒓=0$

• •

  $𝒇$：ポテンシャルを持つ $\Rightarrow {\displaystyle {\int }_C}𝒇\cdot 𝑑𝒓=0$ ($C$：閉曲線)

面積分

• •

  スカラー場$f(x,y,z)$と曲面 $S:𝒓(u,v)=(x(u,v),y(u,v),z(u,v))$, $(u,v)\in D$

• •

  ${\displaystyle {\iint }_S}fdS={\displaystyle {\iint }_D}f(x(u,v),y(u,v),z(u,v))|{\displaystyle \frac{\partial 𝒓}{\partial u}}\times {\displaystyle \frac{\partial 𝒓}{\partial v}}|dudv$

• •

  $S$ における $f$ の面積分

• •

  $dS=|{\displaystyle \frac{\partial 𝒓}{\partial u}}\times {\displaystyle \frac{\partial 𝒓}{\partial v}}|dudv$だった(2.18 式)

• 例

  良く利用される曲面がグラフ$z=\phi (x,y)$のとき

• •

  パラメータ表示する：$𝒓(x,y)=(x,y,\phi (x,y))$, $(x,y)\in M$

• •

  ${\displaystyle \frac{\partial 𝒓}{\partial x}}=(1,0,{\displaystyle \frac{\partial \phi }{\partial x}})$, ${\displaystyle \frac{\partial 𝒓}{\partial y}}=(0,1,{\displaystyle \frac{\partial \phi }{\partial y}})$

• •

  ${\displaystyle \frac{\partial 𝒓}{\partial x}}\times {\displaystyle \frac{\partial 𝒓}{\partial y}}=(1,0,{\displaystyle \frac{\partial \phi }{\partial x}})\times (0,1,{\displaystyle \frac{\partial \phi }{\partial y}})$ $=(-{\displaystyle \frac{\partial \phi }{\partial x}},-{\displaystyle \frac{\partial \phi }{\partial y}},1)$

• •

  $dS=\sqrt{{\phi }_x^2+{\phi }_y^2+1}dxdy$

• 例

  4.9 平面$x+2y+2z=1$が座標軸と交わる点をA, B, Cとして $\mathrm{△}\text{ABC}$を$S$，スカラー場$f(x,y,z)=2y+z$のとき面積分 ${\displaystyle {\iint }_S}f𝑑S$を求めよ

• 略解

  $S$は$z={\displaystyle \frac{1-x}{2}}-y(=\phi (x,y))$, $M:0\le x\le 1,0\le y\le {\displaystyle \frac{1-x}{2}}$

• •

  ${\phi }_x=-{\displaystyle \frac{1}{2}}$, ${\phi }_y=-1$より $dS=\sqrt{{\phi }_x^2+{\phi }_y^2+1}dxdy$ $=\sqrt{{\displaystyle \frac{1}{2^2}}+1+1}dxdy={\displaystyle \frac{3}{2}}dxdy$

• •

  また$f(x,y,z)=2y+z$に$z={\displaystyle \frac{1-x}{2}}-y$を代入して $f=2y+{\displaystyle \frac{1-x}{2}}-y={\displaystyle \frac{1-x}{2}}+y$

• •

  $dS={\displaystyle \frac{3}{2}}dxdy$, $f={\displaystyle \frac{1-x}{2}}+y$だから

• •

  ${\displaystyle {\iint }_S}f𝑑S={\displaystyle {\iint }_M}\left({\displaystyle \frac{1-x}{2}}+y\right){\displaystyle \frac{3}{2}}𝑑x𝑑y$ $={\displaystyle \frac{3}{2}}{\displaystyle {\int }_0^1}𝑑x{\displaystyle {\int }_0^{\frac{1-x}{2}}}\left({\displaystyle \frac{1-x}{2}}+y\right)𝑑y$ $={\displaystyle \frac{3}{2}}{\displaystyle {\int }_0^1}\left({\displaystyle \frac{{(1-x)}^2}{4}}+{\displaystyle \frac{1}{2}}{\displaystyle \frac{{(1-x)}^2}{4}}\right)𝑑x$ $={\displaystyle \frac{9}{16}}{\left[-{\displaystyle \frac{{(1-x)}^3}{3}}\right]}_0^1={\displaystyle \frac{3}{16}}$

• •

  ベクトル場 $𝒇$ のとき

• •

  ${\displaystyle {\iint }_S}𝒇\cdot 𝑑𝑺={\displaystyle {\iint }_S}𝒇\cdot 𝒏𝑑S$

• •

  $𝒇$ の面積分 ($𝒏$は正の向き)

• •

  $S:𝒓(u,v)=(x(u,v),y(u,v),z(u,v))$, $(u,v)\in D$のとき

• •

  $𝒏={\displaystyle \frac{1}{\left|{\displaystyle \frac{\partial 𝒓}{\partial u}}\times {\displaystyle \frac{\partial 𝒓}{\partial v}}\right|}}{\displaystyle \frac{\partial 𝒓}{\partial u}}\times {\displaystyle \frac{\partial 𝒓}{\partial v}}$ ：単位法線ベクトル

• •

  $𝒏dS=\left({\displaystyle \frac{\partial 𝒓}{\partial u}}\times {\displaystyle \frac{\partial 𝒓}{\partial v}}\right)dudv$

• •

  ${\displaystyle \frac{\partial 𝒓}{\partial u}}\times {\displaystyle \frac{\partial 𝒓}{\partial v}}=({\displaystyle \frac{\partial (y,z)}{\partial (u,v)}},{\displaystyle \frac{\partial (z,x)}{\partial (u,v)}},{\displaystyle \frac{\partial (x,y)}{\partial (u,v)}})$

• •

  $𝒏dS$ $=({\displaystyle \frac{\partial (y,z)}{\partial (u,v)}},{\displaystyle \frac{\partial (z,x)}{\partial (u,v)}},{\displaystyle \frac{\partial (x,y)}{\partial (u,v)}})dudv$ $=(dydz,dzdx,dxdy)$

• •

  ここで ${\displaystyle \frac{\partial (x,y)}{\partial (u,v)}}dudv=dxdy$など

• •

  (ヤコビアン)

• •

  ${\displaystyle {\iint }_S}𝒇\cdot 𝑑𝑺={\displaystyle {\iint }_S}𝒇\cdot 𝒏𝑑S$ $={\displaystyle {\iint }_S}(fdydz+gdzdx+hdxdy)$

• 例

  グラフ $S:z=\phi (x,y)$, $(x,y)\in M$ で 上向きを正($𝒏\cdot 𝒌>0$)

• •

  $𝒓(x,y)=(x,y,\phi (x,y))$, $(x,y)\in M$

• •

  ${\displaystyle \frac{\partial 𝒓}{\partial x}}=(1,0,{\displaystyle \frac{\partial \phi }{\partial x}})$, ${\displaystyle \frac{\partial 𝒓}{\partial y}}=(0,1,{\displaystyle \frac{\partial \phi }{\partial y}})$

• •

  ${\displaystyle \frac{\partial 𝒓}{\partial x}}\times {\displaystyle \frac{\partial 𝒓}{\partial y}}=(1,0,{\displaystyle \frac{\partial \phi }{\partial x}})\times (0,1,{\displaystyle \frac{\partial \phi }{\partial y}})$ $=(-{\displaystyle \frac{\partial \phi }{\partial x}},-{\displaystyle \frac{\partial \phi }{\partial y}},1)$

• •

  $𝒏={\displaystyle \frac{1}{\left|\frac{\partial 𝒓}{\partial x}\times \frac{\partial 𝒓}{\partial y}\right|}}{\displaystyle \frac{\partial 𝒓}{\partial x}}\times {\displaystyle \frac{\partial 𝒓}{\partial y}}={\displaystyle \frac{(-{\phi }_x,-{\phi }_y,1)}{\sqrt{{\phi }_x^2+{\phi }_y^2+1}}}$

• •

  $𝒏$ は正の向き(上向き)

• •

  $𝒏dS={\displaystyle \frac{(-{\phi }_x,-{\phi }_y,1)}{\sqrt{{\phi }_x^2+{\phi }_y^2+1}}}\sqrt{{\phi }_x^2+{\phi }_y^2+1}dxdy$ $=(-{\phi }_x,-{\phi }_y,1)dxdy$

• •

  ${\displaystyle {\iint }_S}𝒇\cdot 𝑑𝑺=$ ${\displaystyle {\iint }_M}\left(-f{\displaystyle \frac{\partial \phi }{\partial x}}-g{\displaystyle \frac{\partial \phi }{\partial y}}+h\right)𝑑x𝑑y$

• •

  ここで普通の二重積分になった!

• 例

  4.16 平面$2x+y+z=2$が座標軸と交わる点をA,B,C, $\mathrm{\Delta }\text{ABC}$を$S$，$𝒏$の$z$成分$n_z>0$を正の向き

• •

  $𝒇=(z-1,2x^2,2y)$のとき${\displaystyle {\iint }_S}𝒇\cdot 𝑑𝑺$

• 略解

  $z=2-2x-y=\phi (x,y)$

• •

  $𝒏dS=(-{\phi }_x,-{\phi }_y,1)dxdy$ $=(2,1,1)dxdy$

• •

  $M:0\le x\le 1,0\le y\le 2-2x$として

• •

  ${\displaystyle {\iint }_S}𝒇\cdot 𝑑𝑺={\displaystyle {\iint }_M}(2(z-1)+2x^2+2y)𝑑x𝑑y$ $={\displaystyle {\iint }_M}\left(2(1-2x-y)+2x^2+2y\right)𝑑x𝑑y$ $={\displaystyle {\iint }_M}2{(x-1)}^2𝑑x𝑑y$

• ${\displaystyle {\iint }_S}𝒇\cdot 𝑑𝑺={\displaystyle {\iint }_M}2{(x-1)}^2𝑑x𝑑y$ $=2{\displaystyle {\int }_0^1}𝑑x{\displaystyle {\int }_0^{2-2x}}{(x-1)}^2𝑑y$ $=-4{\displaystyle {\int }_0^1}{(x-1)}^3𝑑x$ $={\left[-{(x-1)}^4\right]}_0^1=1$

ガウスの法則

• •

  原点に電荷$q$：電場$𝑬(x,y,z)={\displaystyle \frac{q𝒓}{r^3}}$

• •

  $S$:中心$O$半径$a$の球, $𝒏={\displaystyle \frac{𝒓}{r}}$ (外向き)

• •

  ${\displaystyle {\iint }_S}𝑬\cdot 𝑑𝑺={\displaystyle {\iint }_S}{\displaystyle \frac{q𝒓}{r^3}}\cdot {\displaystyle \frac{𝒓}{r}}𝑑S$ $={\displaystyle \frac{q}{a^2}}{\displaystyle {\iint }_S}𝑑S={\displaystyle \frac{q}{a^2}}4\pi a^2=4\pi q$

• •

  ${\displaystyle {\iint }_S}𝑬\cdot 𝑑𝑺$ は$S$内の全電荷の$4\pi$倍

立体積分

• •

  $S_1:z=\phi (x,y),S_2:z=\psi (x,y)$, $\phi (x,y)\ge \psi (x,y)$, $(x,y)\in M$とする

• •

  $V$は$S_1,S_2$で囲まれた領域，$f(x,y,z)$は$V$で定義されている

• •

  ${\displaystyle {\iiint }_V}f(x,y,z)𝑑V$ $={\displaystyle {\iint }_M}\left\{{\displaystyle {\int }_{\psi (x,y)}^{\phi (x,y)}}f(x,y,z)𝑑z\right\}𝑑x𝑑y$

演習

1. 1.

   スカラー場$f=2x+3y+z$, 半球面$S:z=\sqrt{a^2-x^2-y^2}$のとき面積分${\displaystyle {\iint }_S}f𝑑S$ ($a>0$)

2. 2.

   円柱面$S$： $𝒓(u,v)=(a\cos u,a\sin u,v)$, $0\le u\le 2\pi ,0\le v\le h$と ベクトル場$𝒇=(x,y,z^2+xy)$とし面積分 ${\displaystyle {\iint }_S}𝒇\cdot 𝑑𝑺$ ($a>0$, $S$の向きは${𝒓}_u\times {𝒓}_v$)

• 略解

  (1)$\phi =\sqrt{a^2-x^2-y^2}$として${\phi }_x={\displaystyle \frac{-x}{\sqrt{a^2-x^2-y^2}}}$, ${\phi }_y={\displaystyle \frac{-y}{\sqrt{a^2-x^2-y^2}}}$

• •

  $dS={\displaystyle \frac{a}{\sqrt{a^2-x^2-y^2}}}dxdy={\displaystyle \frac{a}{z}}dxdy$

• •

  ${\displaystyle {\iint }_S}f𝑑S=a{\displaystyle {\iint }_M}{\displaystyle \frac{2x+3y+z}{z}}𝑑x𝑑y$

極座標に変換：$a{\displaystyle {\int }_0^{2\pi }}𝑑\theta {\displaystyle {\int }_0^a}\left({\displaystyle \frac{2r\cos \theta +3r\sin \theta }{\sqrt{a^2-r^2}}}+1\right)r𝑑r$ $=a{\displaystyle {\int }_0^{2\pi }}(2\cos \theta +3\sin \theta )𝑑\theta {\displaystyle {\int }_0^a}{\displaystyle \frac{r^2}{\sqrt{a^2-r^2}}}𝑑r+2\pi a{\displaystyle {\int }_0^a}r𝑑r$ $=\pi a^3$

• (2)

  ${𝒓}_u=(-a\sin u,a\cos u,0)$, ${𝒓}_v=(0,0,1)$

• •

  ${𝒓}_u\times {𝒓}_v=(a\cos u,a\sin u,0)$

• •

  $𝒏dS=(a\cos u,a\sin u,0)dudv$

• •

  ${\displaystyle {\iint }_S}𝒇\cdot 𝑑𝑺$ $=a^2{\displaystyle {\int }_0^h}𝑑v{\displaystyle {\int }_0^{2\pi }}({\cos }^{2}u+{\sin }^{2}u)𝑑u$ $=2\pi a^{2}h$